関数 $f(x), g(x)$ が区間 $I$ で連続である時、次を示せ。
(1) $|f(x)|$ は区間 $I$ で連続である。
(2) $h(x) = {\rm max}\{f(x), g(x)\}$ とすると、$h(x)$ は区間 $I$ で連続である。
(3) $k(x) = {\rm min}\{f(x), g(x)\}$ とすると、$k(x)$ は区間 $I$ で連続である。
(1)
$\forall a \in I$ とするとき、$f(x)$ の $x = a$ における連続性より
\begin{align}
\lim_{x \to a}||f(x)| – |f(a)|| \le \lim_{x \to a}|f(x) – f(x)| = 0
\end{align}
が成り立つので
\begin{align}
\lim_{x \to a}|f(x)| = |f(a)|
\end{align}
が成り立ち、$|f(x)$ は $x = a$ で連続であることが分かる。
(2)
先の問題より
\begin{align}
h(x) &={\rm max}\{f(x), g(x)\} = \frac{f(x) + g(x) + |f(x) – g(x)|}{2}
\end{align}
と表すことが出来て、(1) より $f(x), g(x), |f(x) – g(x)|$ は全て区間 $I$ で連続であるので、$h(x)$ は区間 $I$ で連続である。
(3)
(2) と同様に、先の問題より
\begin{align}
k(x) &= {\rm min}\{f(x), g(x)\} = \frac{f(x) + g(x) – |f(x) – g(x)|}{2}
\end{align}
と表すことが出来て、(1) より $f(x), g(x), |f(x) – g(x)|$ は全て区間 $I$ で連続であるので、$k(x)$ は区間 $I$ で連続である。
