関数の極限(6)

(1)
$$\begin{array}{rl}–|a|& \le a\le |a|\\ –|b|& \le b\le |b|\end{array}$$
より
$$\begin{array}{rl}–(|a|+|b|)& \le a+b\le |a|+|b|\end{array}$$
が導かれるので
$$\begin{array}{r}|a+b|\le |a|+|b|\end{array}$$
が得られる。さらに $b$ を $-b$ として
$$\begin{array}{r}|a–b|\le |a|+|b|\end{array}$$
が得られ、さらに
$$\begin{array}{r}|a|=|(a–b)+b|\le |a–b|+|b|\end{array}$$
より
$$\begin{array}{r}|a|–|b|\le |a–b|\end{array}$$
が得られる。また、$a$ と $b$ を入れ替えて
$$\begin{array}{r}|b|–|a|\le |a–b|\end{array}$$
が得られるので
$$\begin{array}{r}||a|–|b||\le |a–b|\end{array}$$
が導かれる。これにより、示すべき式が示された。

(2)
$a\ge b$ と仮定すると、左辺は $a$ であり、右辺は
$$\begin{array}{rl}\frac{a+b+|a–b|}{2}& =\frac{a+b+a–b}{2}=a\end{array}$$
となり、等しいことが分かる。$a\le b$ の場合も全く同様に示される。

(3)
$a\ge b$ と仮定すると、左辺は $b$ であり、右辺は
$$\begin{array}{rl}\frac{a+b–|a–b|}{2}& =\frac{a+b–(a–b)}{2}=b\end{array}$$
となり等しいことが分かる。$a\le b$ の時も全く同様に示される。