関数の極限(4)

(1)
$a\ne 0$ の場合、$t=ax$ とおくと
$$\begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{lim}(1+ax{)}^1/x& =\underset{x\to 0}{lim}{\left({(1+ax)}^{\frac{1}{ax}}\right)}^a\\ & ={\mathrm{e}}^a\end{array}$$
となる。また、$a=0$ の時には
$$\begin{array}{r}\underset{x\to 0}{lim}(1+ax{)}^{1/x}=1={\mathrm{e}}^a\end{array}$$
である。従って
$$\begin{array}{r}\underset{x\to 0}{lim}(1+ax{)}^{1/x}={\mathrm{e}}^a\end{array}$$
が言える。
(2)
$t=x–1$ とおくと
$$\begin{array}{rl}\underset{x\to 1}{lim}{x}^{\frac{1}{x–1}}& =\underset{t\to 0}{lim}(1+t{)}^{\frac{1}{t}}\\ & =\mathrm{e}\end{array}$$
が言える。
(3)
$a\ne 0$ の時、$a/x=t$ とおくと
$$\begin{array}{rl}\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{a}{x})}^x& =\underset{t\to 0}{lim}(1+t{)}^{\frac{a}{t}}\\ & ={\mathrm{e}}^a\end{array}$$
となり、$a=0$ の時には
$$\begin{array}{rl}\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{a}{x})}^x& =1={\mathrm{e}}^a\end{array}$$
であるので、結局
$$\begin{array}{rl}\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{a}{x})}^x& ={\mathrm{e}}^a\end{array}$$
が言える。
(4)
$t=x–a$ とおいて
$$\begin{array}{rl}\underset{x\to a}{lim}\frac{\sin x–\sin a}{x–a}& =\underset{t\to 0}{lim}\frac{\sin (t+a)–\sin a}{t}\\ & =\underset{t\to 0}{lim}\frac{2\sin \frac{t}{2}\cos (\frac{t}{2}+a)}{t}\\ & =\cos a\end{array}$$
となる。