$a_1, a_2$ を定数とするとき、未知関数 $x = x(t)$ に関する方程式
\begin{align}
\frac{{\rm d}^2 x}{{\rm d} t^2} + a_1 \frac{{\rm d} x}{{\rm d} t} + a_2 x &= 0
\end{align}
を考える。
$y_1 = x, y_2 = \frac{{\rm d}x}{{\rm d} t}$ とおくことにより、この２階の微分方程式は
\begin{align}
\begin{pmatrix}
\frac{{\rm d}y_1}{{\rm d} t} \\
\frac{{\rm d}y_2}{{\rm d} t} \\
\end{pmatrix} &=
A
\begin{pmatrix}
y_1 \\
y_2 \\
\end{pmatrix}
\end{align}
と表すことができる。このときの $A$ を求めよ。
$y_1, y_2$ について
\begin{align}
\frac{{\rm d} y_1}{{\rm d} t} &= \frac{{\rm d} x}{{\rm d} t} = y_2 \\
\frac{{\rm d} y_2}{{\rm d} t} &= \frac{{\rm d}^2 x}{{\rm d} t^2} \\
&= – a_1 \frac{{\rm d} x}{{\rm d} t} – a_2 x \\
&= – a_2 y_1 – a_1 y_2
\end{align}
が成り立つので
\begin{align}
\begin{pmatrix}
\frac{{\rm d}y_1}{{\rm d} t} \\
\frac{{\rm d}y_2}{{\rm d} t} \\
\end{pmatrix} &=
\begin{pmatrix}
y_2 \\
– a_2 y_1 – a_1 y_2 \\
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-a_2 & – a_1 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
y_1 \\
y_2 \\
\end{pmatrix}
\end{align}
と書くことができるので
\begin{align}
A &=
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-a_1 & -a_2 \\
\end{pmatrix}
\end{align}
と求まる。
