行列と階数｜大学生/通信大学生/高専生のための大学数学・大学物理の家庭教師/大学生のための塾

$A$ を階数が1の $n$ 次正方行列とする。このとき、零ベクトルではない $n$ 次の列ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が存在し
$\begin{aligned} A & = \vec{a}^{T} \vec{b} \end{aligned}$
と表せることを示せ。

$A$ の階数が 1 であるので、行列の列基本変形により、 $\vec{0}$ でない $A$ の列ベクトル $\vec{a}$ が存在して、他の列は $\vec{a}$ のスカラー倍となる。 $A$ の第 $i$ 列が $\vec{a}$ の $b_{i}$ 倍として
$\begin{aligned} \vec{b} & = (\begin{array}{c} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{n} \end{array}) \end{aligned}$
とすると
$\begin{aligned} A & = (b_{1} \vec{a}, b_{2} \vec{a}, \dots, b_{n} \vec{a}) \\ = \vec{a}^{T} \vec{b} \end{aligned}$
と表すことができて、題意が示された。