$a, b$ を異なる複素数、$X_{11}, X_{12}, X_{21}, X_{22}$ をそれぞれ $m$ 次正方行列、$m \times n$行列、$n \times m$ 行列、$n$次正方行列とし、$(m + n)$次の正方行列 $A, X$ を
\begin{align}
A =
\begin{pmatrix}
a E_m & O_{m, n} \\
O_{n, m} & b E_n \\
\end{pmatrix},\
X =
\begin{pmatrix}
X_{11} & X_{12} \\
X_{21} & X_{22} \\
\end{pmatrix}
\end{align}
により定める。$A, X$ が可換となるのは $X_{12}, X_{21}$ が零行列のときであることを示せ。
$A, X$ が可換とするとき、$AX, XA$を各々計算すると
\begin{align}
AX &=
\begin{pmatrix}
a E_m & O_{m, n} \\
O_{n, m} & b E_n \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
X_{11} & X_{12} \\
X_{21} & X_{22} \\
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
a X_{11} & a X_{12} \\
b X_{21} & b X_{22} \\
\end{pmatrix} \\
XA &=
\begin{pmatrix}
X_{11} & X_{12} \\
X_{21} & X_{22} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a E_m & O_{m, n} \\
O_{n, m} & b E_n \\
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
a X_{11} & b X_{12} \\
a X_{21} & b X_{22} \\
\end{pmatrix}
\end{align}
ここで、$AX = XA$ と $a \neq b$ なる条件より
\begin{align}
a X_{12} &= b X_{12} \\
(a – b) X_{12} &= O \\
X_{12} &= O \\
b X_{21} &= a X_{21} \\
(b – a) X_{21} &= O \\
X_{21} &= O
\end{align}
が結論付けられる。
