次の関数の極限を求めよ。
\begin{align}
\lim_{t \to 0}(1 + x)^{\frac{1}{x}}
\end{align}
まず、$t = \frac{1}{x}$ とおく。
(i) $x > 0$ とすると、$x \to 0+$ のとき、$t \to + \infty$ となる。
従って
\begin{align}
\lim_{x \to 0+}(1 + x)^{\frac{1}{x}} &= \lim_{t \to +\infty}\left(1 + \frac{1}{t}\right)^t \\
&= e
\end{align}
と求まる。
(ii) $x < 0$ とすると、$x \to 0-$ のとき、$t \to - \infty$ となるので
\begin{align}
\lim_{x \to 0-}(1 + x)^{\frac{1}{x}} &= \lim_{t \to 0-}\left(1 + \frac{1}{t}\right)^{t} \\
&= e
\end{align}
となる。
従って、求める極限は $e$ となる。
