4次の正方行列 $I, J, K$ を
\begin{align}
I &=
\begin{pmatrix}
0 & -1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
\end{pmatrix} \\
J &=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}\\
K &=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
\end{align}
により定める時、積 $I^2, J^2, K^2, IJ, JI, JK, KJ, KI, IK$ を求めよ。
2次の正方行列 $L, M, N$ を次のように定める。
\begin{align}
L &=
\begin{pmatrix}
0 & – 1 \\
1 & 0 \\
\end{pmatrix} \\
M &=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{pmatrix} \\
N &=
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0 \\
\end{pmatrix}
\end{align}
このとき、4次の正方行列 $I, J, K$ は、次のように $L, M, N$ を用いて表すことができる。
\begin{align}
I &=
\begin{pmatrix}
L & O \\
O & L \\
\end{pmatrix} \\
J &=
\begin{pmatrix}
O & – M \\
M & O \\
\end{pmatrix} \\
K &=
\begin{pmatrix}
O & – N \\
N & O \\
\end{pmatrix}
\end{align}
ここに $O$ は2次の零行列を表す。
$L, M, N$ の性質として
\begin{align}
L^2 &= – E \\
M^2 &= E \\
N^2 &= E \\
L M &= N \\
M L &= – M \\
L N &= – M \\
N L &= M \\
M N &= – L \\
N M &= L
\end{align}
が成り立つことが分かるので、これに注意すると
\begin{align}
I^2 &= –
\begin{pmatrix}
E & O \\
O & E \\
\end{pmatrix} \\
J^2 &= –
\begin{pmatrix}
E & O \\
O & E \\
\end{pmatrix} \\
K^2 &= –
\begin{pmatrix}
E & O \\
O & E \\
\end{pmatrix} \\
I J &=
\begin{pmatrix}
L & O \\
O & L \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
O & – M \\
M & O \\
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
O & – N \\
N & O \\
\end{pmatrix}
\end{align}
などと計算することができて、残りも同様に計算することにより
\begin{align}
IJ &= K, JI = – K \\
JK &= I, KJ = – I \\
KI &= J, IK = – J
\end{align}
が得られる。