対称行列と交代行列

$A$ を任意の $n$次正方行列とする。このとき
\begin{align}
B &= A + {}^{\rm T}A \\
C &= A – {}^{\rm T}A \\
\end{align}
として、行列 $B, C$ を定める。このとき $B, C$ は各々対称行列、交代行列であることが分かる。
実際に
\begin{align}
{}^{\rm T}B &= {}^{\rm T}\!(A + {}^{\rm T}A) \\
&= {}^{\rm T}A + A \\
&= B \\
{}^{\rm T}C &= {}^{\rm T}(A – {}^{\rm T}A) \\
&= {}^{\rm T}A – A \\
&= – C
\end{align}
となり、$B, C$ が各々対称行列と交代行列であることが分かる。
このとき
\begin{align}
A &= \frac{1}{2}(B + C)
\end{align}
となり、任意の正方行列は対称行列と交代行列の和で書けることが分かる。

次に一意性を示す。$A$ が、$B, C$ と $B’, C’$ の対称行列と交代行列で書けるとする。
すなわち
\begin{align}
A &= B + C = B’ + C’
\end{align}
であるとする。このとき
\begin{align}
B – B’ &= C’ – C
\end{align}
となり、左辺は対称行列であり、右辺の交代行列であるので、対称行列でもあり交代行列でもある行列は O 行列でなくてはならない。
すなわち
\begin{align}
B – B’ &= C’ – C = O \\
B &= B’ \\
C &= C’
\end{align}
が得られ、一意性が示される。