2次の正方行列
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{pmatrix}
に対して、ケイリー-ハミルトンの定理
\begin{align}
A^2 – (a + d) A + (ad – bc)E &= O
\end{align}
が成り立つことを示せ。
具体的に各成分を計算すると
\begin{align}
A^2 &=
\begin{pmatrix}
a^2 + bc & ab + bd \\
ac + cd & bc + d^2 \\
\end{pmatrix}, \\
– (a + d)A &=
\begin{pmatrix}
– a^2 – ad & – ab – bd \\
– ac – cd & – ad – d^2 \\
\end{pmatrix}, \\
(ad – bc) E &=
\begin{pmatrix}
ac – bc & 0 \\
0 & ad – bc \\
\end{pmatrix},
\end{align}
となり、実際に
\begin{align}
A^2 – (a + d) A + (ad – bc)E &= O
\end{align}
が成り立っていることが分かる。
