2つの行列
\begin{align}
\begin{pmatrix}
1 & a \\
0 & a^2 \\
\end{pmatrix},\
\begin{pmatrix}
a^2 & a \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\end{align}
が可換となるように $a$ の値を求めよ。
まず、2つの行列の積の順序を変えて計算してみると
\begin{align}
\begin{pmatrix}
1 & a \\
0 & a^2 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a^2 & a \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix} &=
\begin{pmatrix}
a^2 & 2 a \\
0 & a^2 \\
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
a^2 & a \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & a \\
0 & a^2 \\
\end{pmatrix} &=
\begin{pmatrix}
a^2 & 2 a^3 \\
0 & a^2 \\
\end{pmatrix}
\end{align}
となる。
従って、これらの2つの行列が可換であるための必要十分条件は
\begin{align}
2 a &= 2 a^3 \\
a &= 0, \pm 1
\end{align}
と求まる。
