定数係数非同次微分方程式(3)

(1)

解くべき微分方程式は、微分演算子
\begin{align}
\Phi_1(D) &= D^4 – 4 D^3 + D^2
\end{align}
を用いて
\begin{align}
\Phi_1(D) y &= x + {\rm e}^{3 x}
\end{align}
と書くことが出来る。この微分方程式の余関数 $Y$ は、$\Phi_1(D) y = 0$ の特性方程式
\begin{align}
\Phi_1(\lambda) &= \lambda^4 – 4 \lambda^3 + \lambda^2 \\
&= \lambda^2(\lambda^2 – 4 \lambda + 1)
\end{align}
から、$\lambda = 0\ ({\text 重解}), \lambda = 2 \pm \sqrt{3}$ と求まるので
\begin{align}
Y &= C_1 + C_2 x + C_3 {\rm e}^{(2 + \sqrt{3})x} + C_4^{(2 – \sqrt{3})x}
\end{align}
と求まる。さらに、特殊解 $y_0$ は、先の結果を用いて
\begin{align}
y_0 &= \frac{1}{\Phi_1(D)}(x + {\rm e}^{3 x} \\
&= \frac{1}{D^2 (D^2 – 4 D + 1)} x + \frac{1}{D^2 (D^2 – 4 D + 1)} {\rm e}^{3 x} \\
&= \frac{1}{D^2}\big(1 + 4D – D^2\big) x + \frac{{\rm e}^{3 x}}{3^2(3^2 – 4 \cdot 3 + 1)} \\
&= \frac{1}{D^2}(x + 4) – \frac{1}{18} {\rm e}^{3 x} \\
&= \frac{1}{6} x^3 + 2 x^2 – \frac{1}{18} {\rm e}^{3 x}
\end{align}
と求まる。従って、一般解は
\begin{align}
y &= \frac{1}{6} x^3 + 2 x^2 – \frac{1}{18} {\rm e}^{3 x} + C_1 + C_2 x + C_3 {\rm e}^{(2 + \sqrt{3})x}
+ C_4 {\rm e}^{(2 – \sqrt{3})x}
\end{align}
と求まる。

(2)

解くべき微分方程式は、微分演算子
\begin{align}
\Phi_2(D) &= D^4 – 2 D^2
\end{align}
を用いて
\begin{align}
\Phi_2(D) y &= x^3 + \cos 2 x
\end{align}
と表すことが出来る。この微分方程式の余関数 $Y$ は、$\Phi_2(D) y = 0$ の特性方程式より
\begin{align}
\Phi_2(\lambda) &= \lambda^4 – 2 \lambda^2 \\
&= \lambda^2(\lambda^2 – 2)
\end{align}
$\lambda = 0\ {\text 重解}, \lambda = \pm \sqrt{2}$ であるので
\begin{align}
Y &= C_1 + C_2 x + C_3 {\rm e}^{\sqrt{2} x} + C_4 {\rm e}^{- \sqrt{2} x}
\end{align}
と求まる。この微分方程式の特殊解 $y_0$ は
\begin{align}
y_0 &= \frac{1}{\Phi_2(D)}(x^3 + \cos 2 x) \\
&= \frac{1}{D^2 (D^2 – 2)} x^3 + \frac{1}{D^2 (D^2 – 2)} \cos 2 x
\end{align}
ここで第一項は
\begin{align}
\frac{1}{D^2} \bigg(- \frac{1}{2} \frac{1}{1 – \frac{D^2}{2}}\bigg) x^3
&= – \frac{1}{2} \frac{1}{D^2}\bigg(\Big(1 + \frac{D^2}{2}\Big) x^3\bigg) \\
&= – \frac{1}{2} \frac{1}{D^2} \big(x^3 + 6 x\big) \\
&= – \frac{1}{2} \big(\frac{1}{20} x^5 + \frac{1}{2} x^3\big)
\end{align}
となり、第二項は
\begin{align}
\frac{1}{D^2(D^2 – 2)} \cos 2 x &=
\frac{\cos 2 x}{-2^2(-2^2 – 2)} \\
&= \frac{1}{24} \cos 2 x
\end{align}
と求まるので、結局
\begin{align}
y_0 &= – \frac{1}{40} x^5 – \frac{1}{4} x^3 + \frac{1}{24} \cos 2 x
\end{align}
と求まる。従って、一般解は
\begin{align}
y &= – \frac{1}{4)} x^5 – \frac{1}{4} x^3 + \frac{1}{24} \cos 2 x
+ C_1 + C_2 x + C_3 {\rm e}^{\sqrt{2} x} + C_4 {\rm e}^{- \sqrt{2} x}
\end{align}
と求まる。