次の各式を計算せよ。(ただし、任意定数は省略して良いとする。)
\begin{align}
(1)& \quad \frac{1}{D^2 – 4 D + 5} {\rm e}^{2 x} \sin x \\
(2)& \quad \frac{1}{D^2 – 2 D + 2} {\rm e}^x \cos 3 x
\end{align}
(1)
先の結果Aと先の結果B より
\begin{align}
\frac{1}{D^2 – 4 D + 5} {\rm e}^{2 x} \sin x &=
{\rm e}^{2 x}\frac{1}{(D + 2)^2 – 4 (D + 2) + 5} \sin x \\
&= {\rm e}^{2 x} \frac{1}{D^2 + 1} \sin x \\
&= {\rm e}^{2 x} \bigg(- \frac{x \cos x}{2}\bigg) \\
&= – \frac{1}{2} x {\rm e}^{2 x} \cos x
\end{align}
と求まる。
(2)
先の結果Aと先の結果Bより
\begin{align}
\frac{1}{D^2 – 2 D + 2} {\rm e}^x \cos 3 x &=
{\rm e}^x \frac{1}{(D + 1)^2 – 2(D + 1) + 2} \cos 3x \\
&= {\rm e}^x \frac{1}{D^2 + 1} \cos 3 x \\
&= {\rm e}^x \frac{\cos 3 x}{- 3^2 + 1} \\
&= – \frac{1}{8} {\rm e}^x \cos 3 x
\end{align}
と求まる。
