逆演算子の計算(3)

(1)

$x^2 + x$ は2次の多項式であるので、先の結果より
\begin{align}
\frac{1}{D – 3}(x^2 + x) &= – \frac{1}{3} \frac{1}{1 – \frac{D}{3}} (x^2 + x) \\
&=- \frac{1}{3}\bigg(1 + \frac{D}{3} + \Big(\frac{D}{3}\Big)^3 \bigg)(x^2 + x) \\
&= – \frac{1}{3} \bigg((x^2 + x) + \frac{1}{3}D(x^2 + x) + \frac{1}{9}D^2(x^2 + x)\bigg) \\
&= – \frac{1}{3} x^2 – \frac{5}{9} x – \frac{5}{27}
\end{align}

(2)

$x$ は1次の多項式であるので、先の結果より
\begin{align}
\frac{1}{D^2 – D – 2} x &= – \frac{1}{2} \frac{1}{1 – \frac{D^2 – D}{2}} x \\
&= – \frac{1}{2} \bigg(1 + \Big(\frac{D^2 – D}{2}\Big) x\bigg) \\
&= – \frac{1}{2} x + \frac{1}{4}
\end{align}