次の各式を計算せよ。ただし、任意定数は省略して良い。
\begin{align}
(1) & \quad \frac{1}{D} \sin 3x \\
(2) & \quad \frac{1}{D^2} x^{-3} \\
(3) & \quad \frac{1}{D – 4} {\rm e}^{4 x} \\
(4) & \quad \frac{1}{(D – 2)(D + 1)} x
\end{align}
(1)
\begin{align}
\frac{1}{D} \sin 3 x &= \int \sin 3x {\rm d} x \\
&= – \frac{1}{3} \cos 3x
\end{align}
(2)
\begin{align}
\frac{1}{D^2} x ^{-3} &= \int \Big(\int x^{-3} {\rm d}x\Big){\rm d}x \\
&= \int \Big(- \frac{1}{2} x^{-2}\Big) {\rm d} x \\
&= \frac{1}{2} \frac{1}{x}
\end{align}
(3)
先の結果を用いて
\begin{align}
\frac{1}{D – 4} {\rm e}^{4 x} &= \frac{x^1}{1!} {\rm e}^{4 x} \\
&= x {\rm e}^{4 x}
\end{align}
(4)
先の結果を用いて
\begin{align}
\frac{1}{(D – 2)(D + 1)} x &= \frac{1}{D – 2} \bigg(\frac{1}{D – (-1)} x\bigg) \\
&= \frac{1}{D – 2} {\rm e}^{-1} \int {\rm e}^x x {\rm d} x \\
&= \frac{1}{D – 2} (x – 1) \\
&= {\rm e}^{2 x} \int {\rm e}^{- 2 x} (x – 1) {\rm d} x \\
&= – \frac{1}{2} x + \frac{1}{4}
\end{align}
