$p, q, r$ を定数とするとき、次の連立1次方程式の解が存在するための $p, q, r$ の条件を求めよ。
\begin{align}
\begin{pmatrix}
-2 & 1 & 1 \\
1 & -2 & 1 \\
1 & 1 & -2 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
\end{pmatrix} &=
\begin{pmatrix}
p \\
q \\
r \\
\end{pmatrix}
\end{align}
係数行列 $A$ の行列式は 0 となり逆行列が存在しないことに注意して、$\vec{b} = {}^{\rm T}(p, q, r)$ として、拡大係数行列 $(A|\vec{b})$ の行基本変形を行う。
\begin{align}
(A|\vec{b}) &=
\begin{pmatrix}
– 2 & 1 & 1 & p \\
1 & -2 & 1 & q \\
1 & 1 & -2 & r \\
\end{pmatrix} \\
&\rightarrow
\begin{pmatrix}
0 & -3 & 3 p + 2 q \\
1 & -2 & 1 & q \\
0 & 3 & -3 & r – q \\
\end{pmatrix} \\
&\rightarrow
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & p + q + r \\
1 & -2 & 1 & q \\
0 & 3 & – 3& r – q \\
\end{pmatrix}
\end{align}
となり、係数行列 $A$ の rank は 2 であることより、求める条件は
\begin{align}
p + q + r = 0
\end{align}
と求まる。
