$m, n$ を自然数とするとき
\begin{align}
\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} \sin m x \sin n x {\rm d} x &= \delta_{m, n}
\end{align}
が成り立つことを示せ。
Euler の公式を用いると、左辺は
\begin{align}
\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} \frac{{\rm e}^{i m x} – {\rm e}^{- i m x}}{2 i}
\frac{{\rm e}^{i n x} – {\rm e}^{- i n x}}{2 i} {\rm d} x &=
– \frac{1}{2 \pi}\int_0^{\pi}\left({\rm e}^{i (m + n) x} – {\rm e}^{i (m – n) x}
– {\rm e}^{i (- m + n)x} + {\rm e}^{- i(m + n)}\right){\rm d} x
\end{align}
と変形できる。ここで $m \neq n$ とすると、この式は
\begin{align}
– \frac{1}{2 \pi}\left(\frac{{\rm e}^{i (m + n) \pi} – 1}{i (m + n)} –
\frac{{\rm e}^{i (m – n)\pi} – 1}{i (m – n)} –
\frac{{\rm e}^{- i(m – n)\pi} – 1}{- i(m – n)} +
\frac{{\rm e}^{- i(m + n)\pi} – 1}{- i(m + n)}\right) = 0
\end{align}
となる。ここで ${\rm e}^{i (m + n) \pi} = (-1)^{m + n}$ などを使った。
また、$m = n$ のときには、第１項と第４項がキャンセルし
\begin{align}
– \frac{1}{2 \pi}\int_0^{\pi}(-1 – 1) &= 1
\end{align}
が得られ、まとめると $\delta_{m, n}$ と表すことができる。
