次を示せ。
(1) $0 \le a_1 \le b_1$ とし
\begin{align}
a_{n + 1} &= \sqrt{a_n b_n} \\
b_{n + 1} &= \frac{a_n + b_n}{2}
\end{align}
と定めるとき、数列 $\{a_n\}, \{b_n\}$ は同じ極限値を持つ。
(2) $\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha$ ならば
\begin{align}
\lim_{n \to \infty} \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} = \alpha
\end{align}
\begin{align}
b_{n + 1}^2 – a_{n + 1}^2 &= \frac{(a_n – b_n)^2}{4} \ge 0
\end{align}
より、全ての $n \in \mathbb{N}$ に対して $0 \le a_n \le b_n$ が分かる。
さらに、これを用いると
\begin{align}
a_{n + 1} &= \sqrt{a_n b_n} \ge \sqrt{a_n a_n} = a_n \\
b_{n + 1} &= \frac{a_n + b_n}{2} \le \frac{b_n + b_n}{2} = b_n
\end{align}
が分かるので
\begin{align}
a_1 \le a_2 \le \cdots \le a_n \le b_n \le \cdots \le b_2 \le b_1
\end{align}
なる大小関係にあり、数列 $\{a_n\}$ は上に有界な単調増加数列であり、数列 $\{b_n\}$ は下に有界な単調
減少数列であることが分かる。従って、双方の数列は収束する。その収束値を各々 $\alpha, \beta$ とすれば
\begin{align}
b_{n + 1} &= \frac{a_n + b_n}{2}
\end{align}
より
\begin{align}
\beta &= \frac{\alpha + \beta}{2} \\
\alpha &= \beta
\end{align}
となり、同じ収束値を持つことが分かる。
(2)
先ず、数列 $\{a_n\}$ が有限の値 $\alpha$ に収束する場合を考える。
このとき
\begin{align}
\forall \epsilon > 0, \exists N_1 \in \mathbb{N}, n > N_1 \Rightarrow |a_n – \alpha| \le \frac{\epsilon}{2}
\end{align}
が成り立つ。ここで $K = {\rm max}\{|a_1 – \alpha|, \cdots, |a_{N_1} – \alpha|\}$ とおく。
今、$N_1, K$ は定数であるので
\begin{align}
\lim_{n \to \infty} \frac{N_1 K}{n} &= 0
\end{align}
が成り立つ。従って
\begin{align}
\forall \epsilon > 0, \exists N_2 \in \mathbb{N}, n > N_2 \Rightarrow \frac{N_1 K}{n} < \frac{\epsilon}{2}
\end{align}
が成り立つ。
そこで $N = {\rm max}\{N_1, N_2\}$ とおくと
\begin{align}
\forall \epsilon > 0, n > N \Rightarrow |b_n – \alpha| &\le \frac{|a_1 – \alpha| + \cdots + |a_{N} – \alpha|}{n} + \frac{|a_{N + 1} – \alpha| + \cdots + |a_n – \alpha|}{n} \\
&\le \frac{N_1 K}{n} + \left(\frac{n – N_1}{n}\right)\frac{\epsilon}{2} \\
&< \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon
\end{align}
となり、題意が示される。
ここで
\begin{align}
b_n &= a_1 + \cdots + a_n
\end{align}
と定めた。
