微分積分(解析学)

初等関数の性質(4)

次を示せ。
(1)
cosh(x±y)=coshxcoshy±sinhxsinhy
(2)
tanh(x±y)=tanhx±tanhy1±tanhxtanhy
(3) y=coshx (0x<) に逆関数 arccosh y が存在し arccosh y=log(y+y21) (1y<) (4) y=tanhx (<x<) に逆関数 arctanh y が存在し arctanh y=12log1+y1y (1<y<1)

(1)
coshxcoshy±sinhxsinhy=ex+ex2ey+ey2±exex2eyey2=2ex+y+2e(x+y)4=cosh(x±y)

(2)
tanhx+tanhy1+tanhxtanhy=exexex+ex+eyeyey+ey1+exexex+exeyeyey+ey=(exex)(ey+ey)+(ex+ex)(eyey)(ex+ex)(ey+ey)+(exex)(eyey)=ex+ye(x+y)ex+y+e(x+y)=tanh(x+y)
また、 符号についても全く同様に示すことが出来る。

(3)
先ず、coshx0x において単調増加であることを示す。
今、0<a<b とすると coshbcosha=(1e(a+b))(ebea)2>0
であることから、coshx0x において単調増加関数であることが分かる。
従って、y=coshx の逆関数 x=arccosh y が存在する。
cosh0=1,limxcosh= より、y=coshx の値域は [1,] であるので、x=arccosh y の定義域は [0,) である。
t=ex として
y=ex+ex2
より
2y=t+1tt=y±y21
ここで
(y+y21)(yy21)=1
であり
yy21y+y21
に注意すると、t1 であるので
t=y+y21
が得られる。
従って
arccosh y=x=logt=log(y+y21)
が示される。

(4)
tanhx の値域は (1,1) である。また、tanhx は単調増加であることが分かる。なんとなれば a<b とするとき tanhbtanha=tanh(ba)(1tanhbtanha)>0
であるからである。
従って、y=tanhx には逆関数 x=arctan y が存在する。
t=ex として
y=exexex+ex=t1tt+1t=t21t2+1
が成り立つ。これより
t=(1+y1y)12
が得られるので
x=arctan y=12log(1+y1y)
と求まる。

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