次の各式を計算せよ。ただし、任意定数は省略して良い。
\begin{align}
(1) & \quad \frac{1}{(D – 1)(D + 2)} {\rm e}^{2 x} \\
(2) & \quad \frac{1}{(D – 3)(D – 2)} {\rm e}^{3 x} \\
(3) & \quad \frac{1}{(D + 4)^5} {\rm e}^{- 4 x} \\
(4) & \quad \frac{1}{D – 2} x {\rm e}^{x}
\end{align}
(1)
先の結果を用いて
\begin{align}
\frac{1}{(D – 1)(D + 2)} {\rm e}^{2 x} &= \frac{{\rm e}^{2 x}}{(2 – 1)(2 + 2)} \\
&= \frac{{\rm e}^{2 x}}{4}
\end{align}
(2)
先の結果を用いて
\begin{align}
\frac{1}{(D – 3)(D – 2)} {\rm e}^{3 x} &= \frac{1}{D – 3}\frac{{\rm e}^{3 x}}{3 – 2} \\
&= \frac{1}{D – 3} {\rm e}^{3 x} \\
&= \frac{x}{1!} {\rm e}^{3 x} \\
&= x {\rm e}^{3 x}
\end{align}
(3)
先の結果を用いて
\begin{align}
\frac{1}{(D – (-4))^5} {\rm e}^{- 4 x} &= \frac{x^5}{5!} {\rm e}^{- 4 x} \\
&= \frac{1}{120} x^5 {\rm e}^{- 4 x}
\end{align}
(4)
先の結果を用いて
\begin{align}
\frac{1}{D – 2} {\rm e}^{x} x &= {\rm e}^x \frac{1}{D + 1 – 2} x \\
&= {\rm e}^x \frac{1}{D – 1} x \\
&= {\rm e}^x {\rm e}^x \int {\rm e}^{- x} x {\rm d} x \\
&= – (x + 1) {\rm e}^x
\end{align}
