次の各式が成り立つことを示せ。ただし、$\Phi(\lambda)$ は $\lambda$ 多項式であり
\begin{align}
\Phi(\lambda) &= \lambda^n + a_1 \lambda^{n -1} + \cdots + a_{n – 1} \lambda + a_n
\end{align}
とする。
\begin{align}
(1)& \quad \frac{1}{\Phi(D^2)} \sin \alpha x = \frac{\sin \alpha x}{\Phi(- \alpha^2)} \\
(2)& \quad \frac{1}{D^2 + \alpha^2} \sin \alpha x = – \frac{x \cos \alpha x}{2 \alpha}
\end{align}
(1)
\begin{align}
D^2 \sin \alpha x &= – \alpha^2 \sin \alpha x
\end{align}
であるので
\begin{align}
D^{2n} \sin \alpha x &= (- \alpha^2)^n \sin \alpha x
\end{align}
が言える。従って $\Phi(D^2) = D^{2n} + a_1 D^{2(n – 1)} + \cdots + a_{n – 1}D^2 + a_n$ について
\begin{align}
\Phi(D^2) \sin \alpha x &= \big(D^{2n} + a_1 D^{2(n – 1)} + \cdots + a_{n – 1}D^2 + a_n\big) \sin \alpha x \\
&= \Phi(- \alpha^2) \sin \alpha x
\end{align}
が導かれる。従って
\begin{align}
\frac{1}{\Phi(D^2)} \sin \alpha x &= \frac{\sin \alpha x}{\Phi(- \alpha^2)}
\end{align}
が得られる。
(2)
\begin{align}
(D^2 + \alpha^2) x \cos \alpha x &= D^2\big(x \cos \alpha x\big) + \alpha^2 x \cos \alpha x \\
&= – 2 \alpha \sin \alpha x
\end{align}
であるので
\begin{align}
\big(D^2 + \alpha^2\big) \bigg(- \frac{x \cos \alpha x}{2 \alpha}\bigg) & = \sin \alpha x
\end{align}
が得られる。従って
\begin{align}
\frac{1}{D^2 + \alpha^2} \sin \alpha x &= – \frac{x \cos \alpha x}{2 \alpha}
\end{align}
が成り立つことが分かる。
