定数係数非同次微分方程式(2)

(1)

求める微分方程式は、微分演算子
\begin{align}
\Phi_1(D) &= D^3 + 4 D^2 – D – 4
\end{align}
を用いて
\begin{align}
\Phi_1(D) y &= {\rm e}^{3 x}
\end{align}
と書くことが出来る。この余関数 $Y$ は、この同次方程式の特性方程式
\begin{align}
\Phi(\lambda) &= \lambda^3 + 4 \lambda^2 – \lambda – 4 \\
&= (\lambda – 1)(\lambda + 1)(\lambda + 4) \\
&= 0
\end{align}
より、$\lambda = \pm 1, -4$ と求まるので
\begin{align}
Y &= C_1 {\rm e}^{- x} + C_2 {\rm e}^x + C_3 {\rm e}^{- 4 x}
\end{align}
と求まる。ここに $C_1, C_2, C_3$ は任意の定数である。
特殊解 $y_0$ は、先の結果を利用して
\begin{align}
y_0 &= \frac{1}{\Phi_1(D)} {\rm e}^{3 x} \\
&= \frac{1}{(D – 1)(D + 1)(D + 4)} {\rm e}^{3 x} \\
&= \frac{{\rm e}^{3 x}}{(3 – 1)(3 + 1)(3 + 4)} \\
&= \frac{1}{56} {\rm e}^{3 x}
\end{align}
と求まる。従って、一般解は
\begin{align}
y &= \frac{1}{56} {\rm e}^{3 x} + C_1 {\rm e}^{- x} + C_2 {\rm e}^{x} + C_3 {\rm e}^{- 4 x}
\end{align}
と求まる。

(2)

求める微分方程式は、微分演算子
\begin{align}
\Phi_2(D) &= D^3 + 6 D^2 + 12 D + 8
\end{align}
を用いて
\begin{align}
\Phi_2(D) y &= 7 {\rm e}^{- 2 x}
\end{align}
と表すことが出来る。同伴方程式の特性方程式より
\begin{align}
\Phi_2(\lambda) &= \lambda^3 + 6 \lambda^2 + 12 \lambda + 8 \\
&= (\lambda + 2)^3
\end{align}
$\lambda = -2$ (３重解) と求まるので、余関数は
\begin{align}
Y &= (C_1 + C_2 x + C_3 x^2) {\rm e}^{- 2 x}
\end{align}
と求まる。ここに、$C_1, C_2, C_3$ は任意定数である。
また、特殊解 $y_0$ は、先の結果を利用して
\begin{align}
y_0 &= \frac{1}{\Phi_2(D)} 7 {\rm e}^{- 2 x} \\
&= 7 \frac{1}{(D + 2)^3} {\rm e}^{- 2 x} \\
&= 7 \frac{x^3}{3!} {\rm e}^{- 2 x} \\
&= \frac{7}{6} x^3 {\rm e}^{- 2 x}
\end{align}
と求まる。従って、一般解は
\begin{align}
y &= \frac{7}{6} x^3 {\rm e}^{- 2 x} + (C_1 + C_2 x + C_3 x^2) {\rm e}^{- 2 x}
\end{align}
と求まる。

(3)

解くべき微分方程式は、微分演算子
\begin{align}
\Phi_3(D) &= D^3 – 2 D^2 + D
\end{align}
を用いて
\begin{align}
\Phi_3(D) y &= {\rm e}^x
\end{align}
と書くことが出来る。この時、余関数 $Y$ は、同伴方程式の特性方程式より
\begin{align}
\Phi_3(\lambda) &= \lambda^3 – 2 \lambda^2 + \lambda \\
&= \lambda(\lambda – 1)^2
\end{align}
$\lambda = 0, 1\ ({\text 重解})$ と求まるので
\begin{align}
Y &= C_1 + (C_2 + C_3 x) {\rm e}^{x}
\end{align}
と求まる。また、特殊解 $y_0$ は、先に得られた結果を用いて
\begin{align}
y_0 &= \frac{1}{\Phi_3(D)} {\rm e}^x \\
&= \frac{1}{(D – 1)^2 D} {\rm e}^x \\
&= \frac{1}{(D – 1)^2} {\rm e}^x \\
&= \frac{x^2}{2!} {\rm e}^x \\
&= \frac{1}{2} x^2 {\rm e}^x
\end{align}
と求まる。従って、一般解は
\begin{align}
y &= \frac{1}{2} x^2 {\rm e}^x + C_1 + (C_2 + C_3 x) {\rm e}^x
\end{align}
と求まる。